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第四十五章 微分

  兩人看看李縱所寫下的面積,又看了看李縱。

  按照他們的理解,只要字母中間不寫東西的,都做乘法運算。那難不成這條式子的意思是用f(x)去乘dx,問題是這個dx又是什么意思。

  上面可沒有d這個字母。

  不過張公綽還是試探著問道:“難不成……”

  但話說到一半,張公綽便又停了下來。

  “老夫還是不太能夠理解,這圖形的面積該如何求。”

  李縱知道張公綽有點被現實束縛住了,也是提醒道:“這個dx的意思,就是一滴滴的x的意思。”

  李縱說這話的同時,還用手指比了一段很小很小的距離給他看。

  張公綽立刻就脫口而出,“難不成,你是想用割方條術?”

  “什么?什么割方條術?”恒巽也是立刻問道。

  張公綽便道:“如果把這個dx比作是一小段的距離,那么這個f(x),就是它的高。底乘高,正是面積。”

  “但……”

  他緊接著又低著頭猶豫了下。

  李縱卻是道:“沒錯!雖說你說的這個割方條術還不是很準確,但是,我們就是把這個圖形,看成是一條條的鉛垂線段,而且這條鉛垂線段的底,正常來說,我們都會認為線是沒有寬度的,但現在我們認為它有一滴滴的距離,而這個一滴滴的距離,就是dx。”

  “所以這里的f(x)dx的意思,就是你原本所想的那樣,即是底乘高的意思。”

  張公綽卻道:“可這樣……這條線上,不是每一處……那這個要怎么加起來?”

  李縱便道:“之前不是教過你們∑符號嗎?這個彎曲的像蛇一樣的符號,∫,它的意思就是求和。那為什么不用前面的那個,這就涉及到,兩者求和的意義不同。”

  “前者是對離散的,像1、2、3、4這樣的,一個一個加在一起的求和,而∫是對任何實數,而且是連續分布的數的加起來一起。”

  “比如說,在1跟2之間,會有一個根號2,也就是2的開方,它比1大,比2小,而反應在我們這個圖形上,顯然,雖然我們看不到,但它肯定是有的,我們要把這個也算上。而不能去跳過那些在1跟2之間的數。”

  “然后,剩下還有兩個數,一個是a,一個是b,下面的a,表示我要求和的起點,上面的b,表示我要求和的終點。就這問題而言,這個求和是有邊界的,而a、b在這里表示的就是求和的邊界。”

  “所以整條式子的意思就是,在這個圖形中,它的面積就等于從a到b這個區間,把所有這些底只有一滴滴距離,大小為dx,高度是f(x)的鉛垂線的面積,現在我們按照面積公式,把它的面積全部都加起來。”

  “然后!這條式子我們就說它是這個圖形的面積公式。”

  “那么問題來了,雖說我們定義了這些內涵,讓這個式子賦予了很直白很簡單易懂的含義,接下來我們只要能夠算出這條式子,那么我們就能知道這個圖形的面積。”

  “可是……這些都是我們直接說它就是這樣的,我們其實并不知道它是怎么算的。”

  “這個一滴滴的距離dx,我們不可能真的一滴滴加起來。在現實中,這樣的事情我們是辦不到的。”

  “所以接下來怎么辦!”

  “怎么辦?”兩人又是瞪大著眼睛看著他。

  李縱袖子一捋,卻是道:“我們先把這個放一放,接下來我們再學學另一個概念。”

  “我們假設有λ=x(t)這么一個函數。”

  “t,我們代表的是時間,單位是……隨便,比如說一個時辰。”

  “x,我們代表的是位置,比如說,假設我們在路上每隔一段距離,比如說十里路,就設置一個路標,上面寫著這里的里程數,比如說,從出發點,0,然后是10、20、30這樣,而在它們中間,當然可能也有我們之前講到的那些類似于不是一個整數的,比如說根號2里。”

  “總之,這些都不管,那x的單位就是:里。”

  “然后我們想象一下,當一個人在這么一段路上走的時候,他是不是每一個時間點,都對應著一個里數。”

  “現如今我們再定義一個速度的概念,什么是速度,就是路程除以時間。”

  “好比說:你們兩位,現如今離家有三十里,然后回去的話,走路回去的話,要三天。”

  “那么我們就說,你們回家的平均速度,就是三十里除以三天,每天走十里路。”

  “現在我們再假設一下,我們要是不想知道得這么粗糙,我們要想知道的是,你們二人每一瞬間,不是一天的平均速度,而是每一個瞬間的速度,這個式子又要如何表示?”

  “按照前面的例子,是不是就是,如圖。”

  “dx除以dt,在一滴滴的時間之內,走了一滴滴的路。然后單位是,按照上面單位,結果就變成了人的瞬時速度是里/時辰。”

  “通過這個式子,我們是不是就可以求得,某個人在某一瞬間很短很短的時間之內,他的速度。”

  “當然!自古以來,就有一個詭論,那就是假設把我們動的這個時間跟位置記錄下來,畫下來,而且我們假設它可以被畫下來,那么,假如說每一瞬間,我們在畫上都沒有動過,那我們是怎么從一個地方移動到另一個地方的。”

  “其實實際情況自然是,我們不可能在每一瞬間都沒有動,我們還是會動的。”

  “而接下來我們說的這個,就是為了解決這個問題,如下所示:”

  “這式子的意思就是,移動過的距離x(t)-x(a),除以時間變化t-a,得到速度。”

  “可這個式子還不夠完美,因為……”

  “我們要想知道,我們在很短很短的時間,我們的速度,雖然我們已經有了上面這個式子,可問題是,這個很短很短的時間到底是多少。”

  “有人說,很短很短的時間是眨一下眼的功夫,也有人不同意,說還要比這個時間小千分之一,萬分之一,那么,我們該如何定義這個很短很短的時間,才能夠讓所有的人都信服。”

  “那我們就可以讓這個式子當中的t=a,t=a的意思,就是說,我讓t就是a,這樣大家面對這個很短很短的時間,就不會說,t-a到底是不是就是已經很短很短了。”

  “因為我們讓t=a,那就已經是變得不可再短了,是也不是?”

  “但是在數術上,如果讓t=a,我們沒有辦法把這個式子算出來。”

  “上面是零,下面是零,零除以零等于多少?可我們還是想讓這個式子能被算出來。”

  “所以,在這里,我們再次引入一個新的符號,來表示我們接下來要做的事。”

  “我們就用這個形式寫出來,表示我們接下來要做的事。”

  “而且,我們將這個過程,稱之為微分。”

  “至于前面我們說的面積求和,則是積分。”

  “那么問題來了,這兩個東西加起來,合稱‘微積分’,接下來要怎么用。”

  “我們還是剛剛的例子,計算瞬時速度,也就是在一段很短很短時間的速度,這個速度是通過路程除以時間,微分得來的。”

  “微分所記錄的是每一個很短很短的時間,人所走過時的速度。”

  “現在我假設,之前積分的圖,這就是人在很短很短時間的速度的變化的坐標圖。”

  “現在我要求,人在某一段時間之內,也就是由a到b,他移動了多少路程,該怎么求?”

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